கணிதப் புதிர்கள்-1

கணிதப் புதிர்கள்-2

கணிதப் புதிர்கள்-3

கணிதப் புதிர்கள்-4

கணிதத்தின் அழகு

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Brilliant, isn't it?
And finally, take a look at this symmetry:

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321

கணிதத்தின் அழகு- இது எப்படி இருக்கு?

கணிதத்தின் அழகு- இது எப்படி இருக்கு?

 1 x 9 + 2 = 11

 12 x 9 + 3 = 111

 123 x 9 + 4 = 1111

 1234 x 9 + 5 = 11111

 12345 x 9 + 6 = 111111

 123456 x 9 + 7 = 1111111

 1234567 x 9 + 8 = 11111111

 12345678 x 9 + 9 = 111111111

 123456789 x 9 +10= 1111111111

 

 9 x 9 + 7 = 88

 98 x 9 + 6 = 888

 987 x 9 + 5 = 8888

 9876 x 9 + 4 = 88888

 98765 x 9 + 3 = 888888

 987654 x 9 + 2 = 8888888

 9876543 x 9 + 1 = 88888888

 98765432 x 9 + 0 = 888888888

  1 x 1 = 1

 11 x 11 = 121

 111 x 111 = 12321

 1111 x 1111 = 1234321

 11111 x 11111 = 123454321

 111111 x 111111 = 12345654321

 1111111 x 1111111 = 1234567654321

 11111111 x 11111111 = 123456787654321

 111111111 x 111111111=12345678987654321

அதிசய சதுரம்

இது   ஒரு   அதிசய சதுரம்.இடமிருந்து வலம்,மேலிருந்து கீழ், குறுக்காக  எப்படிக் கூட்டினாலும் 264   வரும்.

          96   11   89   68
          88   69   91   16
          61   86   18   99
          19   98   66   81

அது மாத்திரமல்ல.இந்த சதுரத்தை அப்படியே தலைகீழாக மாற்றிப் பாருங்கள்.

           18   99   86   61
           66   81   98   19
           91   16   69   88
           89   68   11   96

இப்பொழுதும் இடமிருந்து வலம்,மேலிருந்து கீழ்,குறுக்காக கூட்டிப் பாருங்கள்.அதே விடை தான் வரும்.264

நினைத்த எண் எது?

ஒரு மூன்று இலக்க எண்ணை எழுதிக் கொள்ளுங்கள்.
அதனை தொடர்ந்து அதே எண்ணை மீண்டும் எழுதி ஆறு இலக்க எண்ணாக  ஆக்குங்கள்.
அதை ஏழு கொண்டு வகுங்கள்.
வந்த விடையை பதினொன்றால் வகுங்கள்.
கிடைத்த எண்ணை பதிமூன்றால் வகுங்கள்.
இப்போது கிடைத்த விடை நீங்கள் முதலில் நினைத்த எண்.சரிதானா?
உதாரணம்;
 மூன்று இலக்க எண்   =               369
மீண்டும் எழுதினால்   =               369369
ஏழு கொண்டு வகுத்தால்=         52767
பதினொன்றால் வகுத்தால் =   4797
பதிமூன்றால் வகுத்தால்      =   369 

அதிசய எண்

ஒரு அதிசய எண்;12345679
ஒன்றிலிருந்து ஒன்பதுக்குள் ஒரு எண்ணைத்தேர்ந்தெடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அந்த எண்ணை ஒன்பதால் பெருக்கி வரும் விடையை இந்த அதிசய எண்ணுடன் பெருக்குங்கள்.விடை நீங்கள் தேர்ந்தெடுத்த எண்ணின் வரிசையாக இருக்கும்.
1x9x12345679=111111111
2x9x12345679=222222222
3x9x12345679=333333333
4x9x12345679=444444444
5x9x12345679=555555555
6x9x12345679=666666666
7x9x12345679=777777777
8x9x12345679=888888888
9x9x12345679=999999999 

விந்தை எண்

2519  ஒரு விந்தையான எண்
இதை 9   ஆல் வகுத்தால் 8   மீதி வரும்.
இதை 8    ஆல் வகுத்தால்  7    மீதி வரும்

இதை7    ஆல் வகுத்தால்6    மீதி வரும்
இதை 6    ஆல் வகுத்தால் 5    மீதி வரும்
இதை5    ஆல் வகுத்தால்4    மீதி வரும்
இதை4    ஆல் வகுத்தால்3    மீதி வரும்
இதை3    ஆல் வகுத்தால் 2   மீதி வரும்
இதை2    ஆல் வகுத்தால்1    மீதி வரும் 

அதிசய பெருக்கல்

கீழே உள்ள பெருக்கல்களைப் பாருங்கள் இடது புறமும் வலது புறமும் ஒன்றிலிருந்து ஒன்பது வரை உள்ள எண்கள் இடம் பெற்றுள்ளன.
51249876 X3=153749628
32547891X6=195287346
16583742X9=149253678

கீழே உள்ள வித்தியாசமான பெருக்கலைப் பாருங்கள்.இடது புறத்தில் உள்ள எண்கள் வலது புறத்தில் அப்படியே திரும்பி இருக்கின்றன.
10989 X 9 =98901.

அழகான பெருக்கல்

கீழேதரப்பட்டுள்ள பெருக்கல்களில் ஒருசிறப்பம்சம்உள்ளது.விடையில்வரும் எண்கள் எல்லாம் ஒரே எண்கள் திரும்பவும் வருகின்றன.அதுவும் வரிசையாக வருகின்றன.(same figures in the same order starting in a different place as if written round the edge of a circle)
142857 X2= 285714
142857 X3 =428571
142857X4 =571428
142857 X5 =714285
142857 X6=857142 

கணித விளையாட்டு

கணித விளையாட்டு

6² - 5² = 11
56² - 45² = 11 11
556² - 445² = 11 11 11
5556² - 4445² = 11 11 11 11
.......and so on

======

4 + 9 + 1 +3  = 17
4913  = 17³


=======

1³ + 5³ + 3³ = 153

கார்ப்ரேகர் எண்

தனியான நான்கு எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.அந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்ணை எழுதிக் கொள்ளுங்கள் .பின் அதே நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் சிறிய எண்ணையும் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்.பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழியுங்கள்.வருகிற விடையில் உள்ள நான்கு எண்களை உபயோகித்து பெரிய எண்,சிறிய எண் கண்டுபிடித்துப் பின் கழியுங்கள்.இதே போலத் தொடர்ந்து செய்தால் ஒரு முறை   6174         என்ற எண் வரும் எந்த நான்கு எண்களை எடுத்துக் கொண்டாலும் இதே போல ஒரு   நிலையில் 6174     என்ற எண் வரும் இந்த எண்ணை கார்ப்ரேகர் எண் என்று சொல்கிறார்கள்.
உதாரணம்;
எடுத்துக்  கொண்ட  எண்கள்;8,7,9,6
இந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்;9876
சிறிய எண்;6789
வித்தியாசம்;3087
மீதியில் வரும் நான்கு எண்கள்;. 3,0,8,7
இந்த நான்கு எண்களை உபயோகித்து வரும் பெரிய எண்;8730
சிறிய எண்;  0378
வித்தியாசம்;8352
8,3,5,2,இவற்றின் பெரிய எண்;8532
சிறிய எண்;2358
வித்தியாசம்;6174
ஒரு  சில  எண்களுக்கு ஒரே  முறையிலும் ,வேறு  சில  எண்களுக்கு  நான்கைந்து  தடவைகளுக்குப்  பின்னும்  இந்த  6174  என்ற  எண்  வரும் . 

ஒரு அரண்மனையில் இருந்து நான்கு பேர் தங்க நாணயங்களைத் திருடிச் சென்றனர் . பங்கிட்டுக் கொள்ள முடியாத சூழ்நிலையில் ஒரு இடத்தில் புதைத்து வைத்து விட்டு தனித் தனியாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் என்று முடிவு செய்கின்றனர் .

இரவு பொழுது வேறு ..... 

முதலில் ஒருத்தன் வந்து இருக்கும் நாணயங்களை நான்காகப் பிரித்து அதில் ஒரு பங்கை எடுத்துச் செல்கின்றான் ..

இரண்டாமவனுக்கு முதலில் ஒருவன் வந்து போனது தெரியாது .அதனால் மீதமுள்ள நாணயங்களை நான்காகப் பிரித்து அதில் ஒரு பங்கையும் எக்ஸ்ட்ரா ஒரு நாணயத்தையும் எடுத்து செல்கின்றான் .. 

மூன்றாமவனுக்கு இரண்டு பேர் வந்து போனது தெரியாது .அதனால மீதமுள்ளவற்றை நான்காகப் பிரித்து அதில் ஒரு பங்கையும் எக்ஸ்ட்ரா இரண்டு நாணயங்களையும் எடுத்துச் செல்கின்றான் ..

நான்காமவன் வரும் போது விடிந்து விடுகிறது ..அதனால் வந்து போன கால் தடங்களைப் பார்த்து விட்டு மீதமுள்ள நாணயங்கள் தனக்குத் தான் என்று நினைத்து எடுத்துச் செல்கின்றான் ..

கேள்வி : இருந்த மொத்த நாணயங்கள் எத்தனை ?? ஒவ்வொருவரும் எத்தனை நாணயங்கள் எடுத்துச் சென்றிருப்பர் ?? ஆனால் அந்த நான்கு பேரும் ஒரே எண்ணிக்கையில் நாணயங்களை எடுத்துச் சென்றிருப்பார்கள் ...? 

Answer: 

மொத்தம் 16 நாணயங்கள், ஆளுக்கு 4 நாணயங்கள்

புதிர்

 நம்ம சுப்புரமணி ஒரு மளிகை கடைக்கு வேலைக்கு போனான். சுப்புரமணி சேட்டைக்காரன்.ஒரு தடவ 40 கிலோ படிக்கல் ( 40 கிலோ படிக்கல் என்பதே கிடையாதே என்று சொல்பவர்களுக்கு சும்மா ஒரு கணக்கிற்கு ) ஒன்ன கீழ போட்டு ஒடச்சுட்டான் . அது நாலு துண்டா உடைந்து விட்டது. நாலும்

புதிர்

வணக்கம் நண்பர்களே,

கணிதத்தை போன்று நம் சிந்தனையை தூண்டும், அறிவு வளர்ச்சியை பெருக்கும் எளிய தூண்டுகோல் வேறெதுவும் இல்லை. ஒரு சிறிய கணிதப் புதிர்...

...B A S E
+ B A L L
------------
G A M E S
------------

இதில் உள்ள ஒவ்வொரு ஆங்கில எழுத்தும் ஒரு எண்ணை குறிக்கிறது. ஒரே எண்ணை இரண்டு எழுத்துகளுக்கு பொருத்தக் கூடாது. அனைத்தும் ஒற்றை இலக்க எண்களே ( 0 முதல் 9 வரை ). A, B, E, G, M, S, L மதிப்புகளை காண்க? 

உதாரணத்திற்கு ஒரு சிறிய புதிரையும் விடையையும் இணைத்துள்ளேன், இதனை வைத்து மேலே உள்ள புதிரை முயற்சித்துப் பாருங்கள்.

...A B
+ C D
------
E C C
------ இதற்கான விடை A=9, B=6, C=3, D=7, E=1.

...9 6
+ 3 7
------
1 3 3
------

நண்பர்கள் கூடியிருந்த போது கணக்காசிரியரான ஒரு நண்பர் “ நான் ஒரு கணிதவித்தை செய்து காட்டுகிறேன், இதை எப்படி என்னால் செய்யமுடிகிறது என்பதை நீங்கள் விளக்க வேண்டும். யாராவது ஒருவர் இதை செய்யலாம். மூன்று இலக்க எண் ஒன்றை எழுதிக்கொள்ளுங்கள்; அந்த எண்ணை எனக்குச்சொல்ல வேண்டாம்.”
”அதில் பூஜ்யங்கள் இருக்கலாமா ?” எழுத ஆரம்பித்த நண்பர் கேட்டார். “நான் எந்த தடையும் விதிக்கவில்லை. நீங்கள் விரும்பும் எந்த மூன்று இலக்கங்களையும் எழுதிகொள்ளலாம்.”
” சரி, இதோ மூன்று இலக்க எண்ணை எழுதிக்கொண்டேன். இனி செய்யவேண்டியது என்ன ?”
“அதன் பக்கத்தில் அதே எண்ணை மீண்டும் எழுதுங்கள். இப்போது உங்களிடம் இருப்பது ஆறு இலக்க எண்ணாகிவிட்டது.”
“சரி”
காகித்தை உங்களுக்கு அடுத்த்தாக இருப்பவரிடம் கொடுங்கள். அவர் அந்த ஆறு இலக்க எண்ணை ஏழால் வகுக்கட்டும்.
“ சுலபமாய் சொல்லிவிடுகிறீர்கள், ஆனால் இந்த எண் ஏழால் மீதமின்றி வகுபடுமோ இல்லையோ ?”
”கவலைப்படாதீர்கள், நன்றாய் வகுபடும்.”
”இது என்ன எண் என்று உங்களுக்கு தெரியாது, அது எப்படி அவ்வளவு நிச்சமாக சொல்கிறீர்கள் ?”
“அதெல்லாம் பிற்பாடு பேசிகொள்ளலாம், வகுங்கள் நீங்கள்.”
“நீங்கள் சொல்வது சரிதான், மீதியில்லாமல் வகுபடுகிறதே ?”
”வகுத்து வந்த ஈவை எனக்கு தெரிவிக்க வேண்டாம். அந்த ஈவை மற்றொரு பேப்பரில் எழுதி அடுத்தவரிடம் கொடுங்கள். அவர் அந்த் ஈவை 11 ஆல் வகுக்கட்டும்.”
”இம்முறையும் நீங்கள் சொல்வது போல் வகுபடும் என்றா நினைக்கிறீர்கள் ?”
“ வகுத்துப்பாருங்கள் மீதி வராது.”
” நீங்கள் சொல்வது சரிதான், வகுபடுகிறது. மேற்கொண்டு செய்யவேண்டியது என்ன ?”
“வகுத்த வந்த ஈவை அடுத்தவரிடம் கொடுங்கள். அதை அவர் 13 ஆல் வகுக்கட்டும்”
” வகுப்பதற்கு நீங்கள் 13 ஐத் தேடிப்பிடித்திருக்க வேண்டாம், 13 ஆல் வகுபடும் எண்கள் மிக சொற்ப்பம்..நீங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிதான், அந்த எண்களில் ஒன்றாய் அமைந்திருக்கிறது இது.”
“வகுத்து வந்த ஈவு எண்ணை என் கண்ணில் படாமல் காகிதத்தை மடித்து என்னிடம் கொடுங்கள்.”
காகிதத்தை பிரிக்காமல் அப்படியே அதை முதலில் எழுதிய நண்பரிடம் கொடுத்தார்.
”இதோ நீங்கள் எழுதிய எண் சரிதானே ?”
காகிதத்தை பிரித்துப்பார்த்த அந்த் நண்பர் வியப்புற்றுவிட்டார். ஆம், நான் எழுதிய எண் இதுவேதான்.
இதை நீங்களும் செய்து உங்கள் நண்பர்களை ஆச்சரியப்பட வைக்கலாம். கணக்கில் ஆர்வமுள்ளவராய் இருப்பின் இது எப்படி சாத்தியம் என்பதை ஆராயலாம்.

ரவி சாக்லேட் வாங்க கடைக்குச் சென்றான். ஒரு சாக்லேட் விலை ஒரு ரூபாய். 15 ரூபாய்க்கு சாக்லேட் வாங்கினான். மூன்று சாக்லேட் உறைகளைத் திருப்பிக் கொடுத்தால், ஒரு சாக்லேட் இலவசமாகத் தருவதாகச் சொன்னார் கடைக்காரர். காசு கொடுத்து வாங்கியவை இலவசமாகப் பெற்றவை என அத்தனை சாக்லேட்டுகளையும் ரவி சாப்பிட்டான். மொத்தம் ரவி சாப்பிட்டது எத்தனை சாக்லேட்டுகள்?

விடை:

21 சாக்லேட் என்று நீங்கள் கணக்கிட்டு இருந்தால்கூடத் தப்பு. மொத்தம் சாப்பிட்டது 22 சாக்லேட்டுகள். காசு கொடுத்து வாங்கியது 15 சாக்லேட்டுகள். அதன் 15 உறைகளையும் திருப்பிக் கொடுத்துப் பெற்றவை ஐந்து சாக்லேட்டுகள். அதில் மூன்று உறைகளையும் கொடுத்துப் பெற்றது ஒரு சாக்லேட். ஏற்கெனவே கையிலிருக்கும் இரண்டு சாக்லேட், இப்போது கையிலிருக்கும் ஒரு சாக்லேட்… இவற்றின் உறைகளைக் கொடுத்துப் பெற்றது ஒரு சாக்லேட். ஆக 15+5+1+1=22.

புதிர் அவிழும் கணங்கள்

இது டேப்லெட் பிசிகளின் (Tablet PCs) காலம். ஆனால் 6000 வருடங்களுக்கு முன்னரே டேப்லெட்டுகள் முளைத்துவிட்டன. ஆச்சரியமாக இருக்கிறது இல்லையா? ஆனால் ஒரு வித்தியாசம். இன்று போல அவைகளில் விண்டோஸ் இல்லை. மைக்ரோ சில்லுகள் கிடையாது. தொடுதிரை இல்லை. ஈரமான களிமண் நெருப்பில் சுடப்பட்டு எளிதாகச் செய்யப்பட்டன (Clay Tablets). சோப்புக் கட்டியில் ஊக்கியை வைத்து கீறி ‘ராமன்’ என்று பெயர்பதிப்பது போல கூரிய எழுத்தாணியால் எழுத உதவிய களிமண் பலகை. இதில் படங்களை கிளிக்-கி ஃபேஸ்புக்கில் விட முடியாது. ஆனால் சிறுசிறு படங்கள் வரையலாம். வரலாறு எழுதலாம். கணக்குப் புதிர்களைக் கீறி வைத்து பின்வரும் சந்திதிகளில் உள்ள மிகச்சிறந்த கணித மேதைகளை தூங்கவிடாமல் செய்யலாம்.

பிளிம்ப்டன் 322 (Plimpton 322 – 1800 BC) என்ற தற்போது அறியப்படும் களிமண் பலகை ஒன்று ஈராக் பாலைவனத்தில் கிடைத்தது. பண்டைய பாபிலோனியர் காலத்தைச் சேர்ந்தது. இது கணித வரலாற்றில் ஒரு விஷேமான பொருள். இதில் விநோதமான முறையில்

ஒரு எண்ணை, இரு எண்களின் மும்மடி ( Cube ) களின் கூட்டுத்தொகையாக, இரு வேறு விதமாக எழுதலாம். இவ்வாறு அமைந்த மிகச் சிறிய எண் எது ?  [ N =  A³  + B³   =  C³ + D³  ]

விடை : 1729 = 10³ + 9³ = 1³ + 12³