புதிர் அவிழும் கணங்கள்

இது டேப்லெட் பிசிகளின் (Tablet PCs) காலம். ஆனால் 6000 வருடங்களுக்கு முன்னரே டேப்லெட்டுகள் முளைத்துவிட்டன. ஆச்சரியமாக இருக்கிறது இல்லையா? ஆனால் ஒரு வித்தியாசம். இன்று போல அவைகளில் விண்டோஸ் இல்லை. மைக்ரோ சில்லுகள் கிடையாது. தொடுதிரை இல்லை. ஈரமான களிமண் நெருப்பில் சுடப்பட்டு எளிதாகச் செய்யப்பட்டன (Clay Tablets). சோப்புக் கட்டியில் ஊக்கியை வைத்து கீறி ‘ராமன்’ என்று பெயர்பதிப்பது போல கூரிய எழுத்தாணியால் எழுத உதவிய களிமண் பலகை. இதில் படங்களை கிளிக்-கி ஃபேஸ்புக்கில் விட முடியாது. ஆனால் சிறுசிறு படங்கள் வரையலாம். வரலாறு எழுதலாம். கணக்குப் புதிர்களைக் கீறி வைத்து பின்வரும் சந்திதிகளில் உள்ள மிகச்சிறந்த கணித மேதைகளை தூங்கவிடாமல் செய்யலாம்.

பிளிம்ப்டன் 322 (Plimpton 322 – 1800 BC) என்ற தற்போது அறியப்படும் களிமண் பலகை ஒன்று ஈராக் பாலைவனத்தில் கிடைத்தது. பண்டைய பாபிலோனியர் காலத்தைச் சேர்ந்தது. இது கணித வரலாற்றில் ஒரு விஷேமான பொருள். இதில் விநோதமான முறையில்

எழுதப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட அட்டவணை இருந்தது. இந்த எண்கள் அனைத்தும் புகழ்வாய்ந்த பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பிதாகரஸ்

எந்த அறிமுகமும் தேவையில்லை. எ ஸ்கொயர் பிளஸ் பி ஸ்கொயர் இஸிகோல்டு சி ஸ்கொயர் என்று இயந்திரம் போல கைகளைக்கட்டி நின்று, பாடிமுடித்து, மூக்கை உறிஞ்சும் பள்ளி மாணவ மாணவிகள். கணக்கு வாத்தியார். பிரம்பு… என ஓவியமாய் வந்து கண்முன் நிற்பார் பிதாகரஸ். ‘யாதும் ஊரே யாவரும் கேளிர்’- லிஸ்டில் கிரேக்க நாட்டில் பிறந்த பிதாகரஸ் முதல் பத்தில் ஓரு இடத்தைப் பிடித்துவிடுவார். பிளிம்ப்டன் 322-ல் பிதாகரஸ் தேற்றம்தான் குழந்தை நிலையில் இருந்தது. பிதாகரஸ் காலத்திற்கு 1000 வருடங்கள் முந்தையது. மேலும் பிதாகரஸ் பாபிலோனுக்கு பிணைக்கைதியாக இழுத்துச் செல்லப்பட்டு அங்கு வாழ்ந்தபோது அதை அறிந்திருக்கலாம் என்ற ஊகமும் உள்ளது.. இந்திய சுல்பசூத்திரத்திங்களில் பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் எடுத்துக்காட்டுகள் சொல்லப்பட்டுள்ளன. சுல்பசூத்திரங்கள் வேதத்தின் பிற்சேர்க்கை. இவை பலிபீடங்களை துல்லியமாக வடிவமைக்க உதவியது. ஒரு கட்டுமானக் கையேடு போல. ஆனால் எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டும் போதாது. ஒரு அனுமானம் அல்லது எடுத்துக்காட்டு தேற்றமாக ஆக இன்னும் ஒரு முக்கியமான படி உயர வேண்டும். அதை கணித தர்க்கம் கொண்டு நிரூபித்துக் காட்ட வேண்டும்.

டேவிட் ஹில்பர்ட் ஜெர்மனியில் 1862-ல் பிறந்தார். இப்போது இல்லை. 1943-லேயே இறந்துவிட்டார். ஆனால் அவரை இன்று கல்லறையில் இருந்து எழுப்பினால் ‘ரீமானின் கணக்கைப் போட்டு விட்டீர்களா?’ என்று முதல் கேள்வியைக் கேட்டு நம்மைத் திணரடிப்பார். புகழ்மிக்க கணித அறிஞர். அவர் 1900-ல் கணிதவியலாளர்கள் மாநாட்டில் ‘அடுத்த கணத்தின் ஆச்சரியங்களை இந்த நொடியே திரைவிலக்கத் துடிக்காதவர் யார்? வரும் நூற்றாண்டுகள் கொண்டுவரும் அறிவியல் புதுமைகளை அறியமுயலாதவர் யார்? அடுத்த தலைமுறைகளின் மிகச்சிறந்த அறிஞர்களின் இலக்குகளும் சாதனைகளும் எவையென்று உங்களுக்கு அறிந்து கொள்ள ஆர்வமில்லையா?‘ என்றெல்லாம் ஆசைகாட்டி, ‘இந்தாருங்கள்! என்னிடம் 23 கணக்குகள் இருக்கின்றன. அவைகளுக்குத் தீர்வு கண்டுபிடித்து தாருங்கள்’ என்று பேசிமுடித்தார். அதில் ஒன்று ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம்.

ஃபெர்மா 17-ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த கணித மேதை. இவர் இரு காரியங்கள் செய்தார். ஒன்று உலகமே அறியும். இன்னொன்று யாருக்குமே தெரியாது. ஃபெர்மா சிக்கலான கணக்குகளுக்குத் தானே விடை கண்டுபிடிப்பார். பின் கணக்குகளின் விடைகளை நன்றாக அழித்து துடைத்துவிட்டு கணக்குகளை மட்டும் மற்ற கணிதவியலாளர்களிடம் சுற்றுக்கு விடுவார். அவை விடைகளுக்குப் பதிலாக பகையையும் வெறுப்பையும் சுமந்துகொண்டு வரும்.

ஃபெர்மாவிடம் அரித்மெடிகா (Arithmetica) என்ற நூலின் பிரதி இருந்தது. இது டையஃபாண்டஸ் என்ற கிரேக்க கணித அறிஞர் மூன்றாம் நூற்றாண்டில் எழுதியது. 130 கணக்குகள் இப்போதும் உள்ளன. இதன் பேசுபொருள் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகள் மற்றும் அதன் தீர்வுகள். ஆனால் தீர்வுகள் 1, 2, 3 போன்ற முழு எண்களாகவும் ½ ¼, 3/4 போன்ற பின்னங்களாகவும் இருக்கவேண்டும். இந்தக் கணக்குகளில் ஒன்று பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பற்றியது.

a² + b² = c²

இந்த சமன்பாடு வடிவியல்படி ஒரு சதுரத்தை இரு சிறு சதுரங்களாகக் கச்சிதமாகப் பிரிப்பது ஆகும். இதன் ஒரு தீர்வு

3² + 4² = 5²

தீர்வு எண்களை இப்படி -(3, 4, 5) அடைத்து வைக்கலாம். உண்மையில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன. (5, 12, 13), (15, 8, 17), (7, 24, 25), (21, 20, 29)…Ad Infinitum. இவைகளை பிதாகரஸ் டிரிபுள்ஸ்-திரிசூலம்- என்று அழைக்கலாம்.

இரு சதுரங்களை பிரிப்பது போல ஒரு கனசதுரத்தை (Cube) இரு சிறு கனசதுரங்களாகப் பிரிக்க முடியுமா? சமன்பாட்டின் வடிவில்

a³ + b³ = c³

முடியாது. இதற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்கிறார் ஃபெர்மா. மேலும்

a⁴ + b⁴ = c⁴

a⁵ + b⁵ = c⁵

a⁶ + b⁶ = c⁶

…

aⁿ + bⁿ = cⁿ

இதிலுள்ள எந்த சமன்பாடுக்கும் முழு எண் தீர்வுகளே இல்லை என்கிறார் ஃபெர்மா. தீர்வுகள் இல்லை என்று சொன்னால் மட்டும் போதாது. நிரூபணம் வேண்டும். ‘பார்த்தாலே கண்ணைப் பறிக்கும் நிரூபணத்தை நான் கண்டுபிடித்துவிட்டேன். ஆனால் அதை எழுதி முடிக்க இந்த இடம் போதாது’ என்று ஃபெர்மா அரித்மெடிகா புத்தகத்தின் ஓரத்தில் குறிப்பு மட்டும் எழுதிவைத்துவிட்டார்.

இதில் என்ன அப்படி ஒரு சிக்கல்? n = 3, 4, 5, 6, 7, …n-ன் சாத்தியங்கள் கணக்கற்றவை. முடிவிலி நோக்கி மனித மனம் கதறக் கதற ஒடும் சமன்பாடு இது. மேலும் வலதுபக்கம் = இடதுபக்கம் என்பதும் சரியாக வரவேண்டும். அதன் சாத்தியங்களும் எண்ணற்றவை. முடிவிலினுள் முடிவிலி. இரு கரைகளும் அற்ற கங்கை ஒன்று சல சல என ஓடிக்கொண்டிருப்பது மாதிரி.

அதன்பின் 350 ஆண்டுகளாக 30-க்கும் அதிகமான கணித அறிஞர்கள் ஃபெர்மாவின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க முயன்றார்கள். இது சுருக்க வரலாறு. கத்துகுட்டிகள், யாருக்கும் தெரியாமல் முயன்ற மேதைகள் எத்தனை பேர் என்று சொல்வது கடினம். அந்த அறிஞர்களில் சிலர் அவர்கள் வாழ்ந்த நூற்றாண்டின் மிகச்சிறந்த கணித மேதைகள். தீர்வுகாணப்படாதக் கணக்குகள் ஒரு கணித மேதைக்கு ஒர் அழகிய மரங்கொத்திப் பறவை அவர் தலையில் உட்கார்ந்து வாழ்நாள் முழுவதும் கொத்திக்கொண்டே இருப்பது போல. ஆனால் இதில் இன்னொரு சிக்கல். ஒருவர் தீர்வு கண்டுவிட்டு நிரூபணத்தை காண்பிக்காமல் போய்விட்டார். இரு மரங்கொத்திப் பறவைகள் எதிரெதிர அமர்ந்து ஒத்திசைவுடன் வேலை செய்யும் காரியம். ஃபெர்மா தேற்றத்தின் வரலாற்றில் இருவர் மிகவும் சுவாரஸ்யமானவர்கள். ஒருவர் தீர்வை கண்டுவிட்டவர்.

இன்னொருவர் ஸோபி ஜெர்மைன் (Sophie Germain 1776- 1831)

ஸோபி பிரெஞ்சு புரட்சி நடந்த காலத்தில் பிறந்தார். பதின்ம வயது ஸோபி வீட்டில் படிப்பது அவரின் பெற்றோருக்குப் பிடிக்காது. எந்தப் பெண் எந்த வீட்டில் படித்திருந்தாலும் அன்று பிடித்திருக்காது. வீடுகளின் கூட்டுத்தொகைதான் சமூகம் என்பதால் அன்றையச் சூழலில். பெண்கள் கல்வி கற்பதற்கு கடும் எதிர்ப்பு இருந்தது. இருந்தாலும் சில நவீன மனங்கள் சீமாட்டிகளுக்கு எளிதாக புரியும் வகையில் நியூட்டனின் தத்துவத்தை விளக்கி எழுதினார்கள். பிரெஞ்ச் கனவான்கள் சீமாட்டிகள் முத்தம் கொடுப்பதற்கும் எடுப்பதற்கும்தான் லாயக்கி என்று நம்பினார்கள். எனவே புத்தகங்கள் பெண்களுக்குப் புரியும் வகையில் காதல் உரையாடல்களாக எழுதப்பட்டன. புவியீர்ப்பு விசைக்கும் தூரத்திற்கும் உள்ள உறவின் விளக்கம். எட்டு நாள் கனவான் அருகில் இல்லையென்றால் சீமாட்டியின் காதலின் ஈர்ப்புவிசை 64 மடங்காகக் குறைந்துவிடும். இது போன்ற அபத்தமான புத்தகங்களை ஸோபி தூக்கிக் குப்பையில் எறிந்தார்.

ஸோபி வாசித்தது கணித வரலாறு. அதுல் ஆர்க்கிமிடிஸ் பற்றிய சிறு குறிப்பு ஒன்று இருந்தது. ஆர்க்கிமிடீஸ் கி.மு.287 இல் சைரகுசின் சிசிலி நகரில் பிறந்தார். ஆர்க்கிமிடீஸ் தரையில் குந்தி அமர்ந்து, பித்துக்களை முகத்தில் வழிய, மண்ணில் தான் வரைந்த கணிதப்படத்தைப் பார்த்து சிரித்துப் பேசிக்கொண்டிருந்தார். ‘நீ யார்? கீழே யார் ஒளிந்துள்ளது? என்ற அங்கு வந்த ரோமானிய சிப்பாயிடம் ‘உன் வேலையை மட்டும் பார்!’ என்றார். அவன் வாளை சரேலென உருவி அவர் தலையைச் சீவி தன் வேலையை வெற்றிகரமாக நொடியில் முடித்தான். வாசித்து முடித்த ஸோபி கலங்கிய கண்களுடன் ‘நானும் புரட்சி செய்வேன். ஆனால் கணிதத்தில்’ என்று சபதம் போட்டார். அன்றிலிருந்து எண், நுண்கணிதங்களை தனக்கு கற்பித்துக் கொண்டார். இரவில் போர்வையைப் போர்த்திக் கொண்டு நியூட்டனுடனும் ஆய்லருடனும் லத்தினிலும் கிரேக்கத்திலும் மாறி மாறி பேசிப் பழகினார்.

Mademoiselle ஸோபி தன் பெயரை மாற்றி மான்சியர் லி பிளாங்க் என்று வைத்துக்கொண்டார். கெளஸ், லெக்ராஞ்சி போன்ற கணித மேதைகளைத் தொடர்புக்கொண்டு கணிதம் பேசினார். அவர்களுக்கு அவரை மிகவும் பிடித்துப்போனது. ஸோபி 100 க்கு கீழே உள்ள சில பகா எண்களுக்கு ஃபெர்மா தேற்றத்தை நிரூபித்தார். இவர் தர்க்க முறையை பின்னரும் கணிதமேதைகள் தொடர்ந்துப் பயன்படுத்தினர்.

கடைசியாகக் நிரூபணம் கண்டவர் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ். 1963-ல் அவர் 10 வயது சிறுவன். இந்தச் சிறுவனின் பார்வை மற்ற சிறு பயல்களின் பார்வையைவிட கொஞ்சம் வித்தியாசமானது. அவன் எல்லா இடங்களிலும் உள்ள எண்கள், வடிவங்கள், ஒழுங்குகளைக் கண்கள் மலர மலர பார்ப்பான். அவை தெரியாத இடங்களிலும் பார்ப்பான். பள்ளி வீட்டுப்பாடக் கணக்குகளை பள்ளிவிட்டு வரும் வழியிலே முடித்துவிட்டு அவனே புதிய கணக்குகளை உருவாக்கிக் கொள்வான் அவைகளுடன் வீட்டில் வந்து உற்சாகமாக விளையாடுவான். ஒரு நாள் அருகில் உள்ள நூலகத்தில் ஒரு புத்தகத்தைப் பார்த்தான். இந்தப் புத்தகம் வழக்கத்துக்கு மாறாக இருந்தது. இதுவரை பல கணக்குகள். கொண்ட ஒரு புத்தகம்தான் பார்த்திருக்கிறான். இதில் ஒரே ஒரு கணக்கு ஒரு புத்தகம் முழுவதும் போடப்பட்டு இருந்தது. இருந்தும் முடித்த பாடில்லை.

ஆண்ட்ரூ சிறுவயது முதலே இதை நிரூபிக்க முயன்றார். ஆனால் அவர் தீயாக வேலை செய்தது 7 வருடங்கள். ஒரு ரிஷி தவம் செய்வது போல. கரையான் புற்றுக்குப் பதில் காகிதங்கள். எண்கள், வடிவங்கள், குறியீடுகள், தூயதர்க்கங்கள் பிரிந்தும் கலைந்தும்…1994-ல் ஆண்ட்ரூ ஃபெர்மா தேற்றத்தை நிரூபித்தார்.

ஃபெர்மா தீர்வு கண்டுபிடித்திருக்க சாத்தியம் இல்லை என்கிறார் ஆண்ட்ரூ. ஏனெனில் இது 20-ம் நூற்றாண்டு நிரூபணம். ஃபெர்மாவுக்குப் பிறகு 20-ம் நூற்றாண்டு வரை வளர்ந்த நவீன கணித தர்க்கம், கோட்பாடுகளைக் கொண்டு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. ஃபெர்மா இதைச் செய்திருக்க முடியாது. 300 வருடப் புதிரை அவிழ்த்த கணம் என் வாழ்க்கையின் உச்ச கணம். நான் இனி பல கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணலாம். ஆனால் ஃபெர்மா போல வராது. நான் சிறுபயலாக இருந்தபோது பிடித்ததை நான் பதின்ம வயதிலும் செய்தேன். 20- 29 வயதிலும் செய்தேன். 30-39 வயதிலும் செய்தேன். இன்றும் செய்கிறேன். சாதனை உணர்வும் மென்சோகமும் என்னை அழுத்துகிறது.

*

டேவிட் ஹில்பர்ட் உயிர்த்தெழுந்தால் ரீமான் அனுமானத்தைப் பற்றித்தான் கேட்பார் என்று ஒரு கிண்டல் உண்டு. சில எண்கள் விசேஷமானவை. அவைகளை அவற்றிற்கும் குறைவான இரண்டு எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக எழுதமுடியாது. எ.கா. 2, 3, 5, 7 போன்றவை. 4-ஐ 2 X 2 என்று எழுதலாம். ஆனால் 5-ஐ எப்படி எழுதுவது? 1 X 5 என்று எழுதுவது கணக்கில் கொள்ளப்படாது. அவைகளை பகா எண்கள் என்கிறோம். நூறு வரை உள்ள பகா எண்கள்:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59… இதில் ஏதாவது ஒழுங்கு தெரிகிறதா? பகா எண்களை வரிசைப்படுத்தினால் எந்த ஒழுங்கும் இல்லை. பரிபூரண தாறுமாறு. ஆனால் இந்த வரிசையைப் பற்றி ரீமான் 1859-ல் ஒரு முக்கிய அனுமானத்தை வைத்தார். அதைத் தூய கணித தர்க்கத்தைக் கொண்டு நிரூபிக்க வேண்டும். இதுதான் புதிர்.

உண்மையிலேயே மில்லியன் டாலர் கேள்வி. நீங்கள் விடை கண்டுபிடித்தால் 5.4 கோடி ரூபாய் நிச்சயம். PhD, ஜீனியஸ் என்ற பட்டங்களுடன். அதற்குப்பின் நீங்கள் தனியாக எங்கும் உலவ முடியாது. ஒரு தோப்பாகத்தான் போவீர்கள். வருவீர்கள்